今早看到一篇讀者投書，覺得有點有趣，想不到這麼一個問題，也能上報來討論，忍不住，便引用上來，好讓沒看到的朋友，一起來感受一下...先貼原本的討論，再來貼我今早看到的評論...
這一題，8×12答成12×8當然錯！
聯合報╱陳招池／國小校長（苗縣頭份）2013.11.20 03:20 am
某校小二月考出了一題：「一打鉛筆12枝，每枝8元，共要付多少錢？哪個算式是正確的？」家長質疑12×8和8×12的答案還不是一樣，引起社會關注。
我負責縣內數學科輔導團的任務，每次辦研習總是有老師提出這樣的問題，爭議頗大，舉書本的例子吧！一隻青蛙有四條腿，三隻青蛙共有幾條腿？問列式子可不可以寫成3×4？當然不可！就像上題8×12不可以寫成12×8，大家的困惑都是答案不是一樣嗎？為何不對？
小二學生剛開始學乘法，是取代連加法的速算法，當然要理解這種算法的意義。若是學生還沒有接觸乘法算則，他們在算青蛙有幾條腿，一定會採取4＋4＋4＝12，而不是3＋3＋3＋3＝12，雖然答案一樣，解題策略與思考邏輯卻迥然不同，前者有意義，後者肯定是把數字湊出來的。
在二年級教乘法時，很重視「倍」的概念，也就是乘數不再有單位，它是由有單位轉化成沒有單位的「倍數」，如十二枝或三隻，其意義就是十二倍或三倍，而被乘數表示「單位量」，如八元、四條腿，因此4×3可以想成四條腿的三倍，8×12就是八元的十二倍，這樣的解題才有意義，是此階段的教學目標，強化孩子認識「倍」的意義。
等到學生升上三年級，學到矩形隊伍的計算，如一個隊伍橫排有八人，直排有十二人，一共有多少人時，則8×12或12×8都可以。此階段的教學目標應該放在運用乘法算則來解題了。
現代家長教育提升了，有能力批判老師出題的品質，這是教育普及的好現象，但各行各業都有其專精的知識，就以這個問題來說，家長搞不懂為何這樣？遺憾的是，似乎也沒人會去說清楚，難題沒解決，造成許多人一開始就畏懼數學，其來有自。
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數學教育／這一題，4x3答3x4有理
聯合報╱干學平／獨立經濟學者（新竹市） 2013.11.21 09:54 am
一隻青蛙四條腿，三隻青蛙共有幾條腿？陳校長昨日在民意論壇中詳細解釋，為什麼小二學生不可以列成3x4而必須列成4x3的理由。儘管陳校長在百忙中為學生家長解惑，令人敬佩、讚許。我在此提供一點不同意見，希望各級的老師們與教育行政人員，能夠多給學生們一點空間。
一位抓過青蛙，仔細觀察過青蛙腿的孩子，可能會對青蛙和青蛙腿留下深刻的印象。面對三隻青蛙共有幾條腿的問題時，這樣的孩子可能先在腦海裡浮出它們的圖像。如果先釘住左前腿，三隻青蛙就有三隻左前腿。依左右前後順序而算，孩子就可以寫下3+3+3+3，即3x4。換句話說，4x3的硬性規定潛藏著一個教條，先把一隻青蛙的四條腿算完，才能繼續算另隻青蛙的四條腿。
猴子喜歡早上吃四個果子，下午三個，而主人上午給三個，下午才給四個時就生氣。儘管從總數的角度來看4x3=3x4，陳校長提醒家長或學生，莊子朝三暮四寓言裡的猴子，還會有總數以外的角度。的確，美國超市店員給消費者找零時，通常口中念念有詞以八塊、九塊、十塊的一一補上零錢，而非以十減七的減法進行找零的算式。
殊堪可惜，陳校長未容許3x4的角度。話說回來，凡事遵循先算青蛙再算幾條腿的教條，可能反而無法面對今日的多元世界，只能使台灣淪落到「悶經濟」。一塊ＩＣ幾條腿要看功能和創新；半導體產業的垂直分工層次數目，並非看清楚台積電就可以決定；就算看清大盤走勢，股票投資也未必能夠獲利。
三隻青蛙可能只有四條腿，因為環境汙染使得三顆青蛙頭長在一個身上。或者，三隻青蛙共有十一條腿，因為有條腿斷了。如果台灣的老師們在孩子們這樣回答問題後，還能繼續與他們對話而不扣分，我們就不用再擔心台灣的教育與經濟發展。原因在於，觀察、圖像化與關連性，才是知識累積的基礎，教條只能等待被打破。
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不曉得各位如果看到自己小二的孩子，被一隻青蛙4條腿，3隻青蛙共幾條腿的數學題目，答案寫12條腿，卻因為算式寫成3*4，沒寫成4*3，因而被打一個大叉，拿到零分，心情感想如何?
我一來很佩服這位陳校長，如此關心數學教育問題，為了這麼個題目，還特別寫了篇文章，來說明數學上意義為何，什麼乘數與被乘數，代表不同意義，他的意思是指4*3代表，我們是先數1隻青蛙有4條腿，共3隻，算式為4*3，如果寫成3*4，代表一隻青蛙3條腿，4隻青蛙12條腿...什麼解題策略與思考邏輯卻迥然不同，前者有意義，後者肯定是把數字湊出來的!?最後結論還寫著...遺憾的是，似乎也沒人會去說清楚，難題沒解決，造成許多人一開始就畏懼數學，其來有自。
批評者，則是認為這是很權威教條式的數學教育方法，要求學生列算式要正確，先算1隻青蛙4條腿，便只能把4條腿寫在前頭，不然不代表3條腿...4*3及3*4不正是隱含數學上的乘法交換率??有必要如此僵化嗎?
我是十分贊同這位批評者的意見，數學的原理，固然重要，但這種講法，幾乎是在上國文課，還去分析算式前後擺的不同意義，我們有必要要求一位小二的孩子，寫算式便要注意4條腿寫在前面才算對，這樣陳校長堅持的教育方式，試問是讓小朋友對數學有興趣，還是修理小孩子對數學的興趣，最後變成畏懼數學?這種堅持的意義在那裡?展現自己數學邏輯精熟純正，也潛藏隱而未宣的鄙視?想到建構式數學殷鑑不遠，竟還有這種心態...
不由想到臺灣教改的問題，便在所謂學者專家自恃身份地位，堅持一些原則，彷彿自己什麼都懂，別人講的都不對，正是標準的權力傲慢，僵硬思維，不容他人挑戰打破既有的窠臼，可憐的學生在大人們自以為了不起，實則剛愎自用的所謂教改的過程，便是如此一點一滴喪失該有的活力及競爭力。
依照我的想法是....既然問幾元,當然是用元當作被乘數囉~~~ 相同的.一條青蛙四條腿,三隻青蛙幾條腿?得寫成4X3才是正確的!
你的觀念,便是數學要嚴格遵守 我,倒是不如此認為,不管4*3或3*4 我都是把他當做交換率 這應用問題的前後順序 我並沒有那麼在意
若想去新社花海賞花.本星期內應該都是最佳賞花期! 超過這個星期.依照我的判斷,可能會略遜幾分囉~~~ 從國道四號下來走豐勢路轉萬仙街...一直到通往新社方向都會塞車! 且可怕的是整條一直塞...塞到花海地點! 小馬兄若想賞新社的花海.當然得請假,反正您的假也還有很多,不是嗎? 我的建議是如果萬仙街塞車,不如進入一兩百公尺後,轉往五福臨木那兒進入新社! 那條路許多人不知道,我去新社就是走那一條路的,直到目的地才塞個十幾分鐘! 小馬兄如果要去.不妨先查查有無替代道路?比如說國道一號哪個地點下去.... 再走哪些路.應該有很多資訊可以查~~祝您賞花愉快喽!! 新社出產香菇,您也可以到阿亮香菇園親自摘採.非常便宜!!
感謝啊~~我便是打算明天下去 因為我對那一帶,不熟 大抵便是利用GPS導航了 五福臨木,好像聽過...搜尋中
對象是小二生,按步就班的來,從最具教條的, 或有人要說是從僵化的方式開始也罷,答案應寫成 4 x 3, 若出題目寫成:有三隻青蛙,每隻青蛙有四條腿,.........? 以今天不強調前後順序,只求答案的正確, 會有人寫成 3 x 4. 1. 訓練小二生的思考邏輯和過程而得出正確答案. 2. 學生家長嗆聲說答案還不是一樣. 各位贊同 1 還是 2 ?
其實啊,便是教4+4+4=12也可以 99乘法,3*4=12是正常的 但我不覺得4*3 有何差別 我的觀念,拘泥這樣的前後順序,便是影響小朋友的興趣
經過五福臨木，可以順便去著名的仙塘跡農園餐廳用餐。 最好先訂位，平常日也爆滿ㄛ～ 我上星期去，只剩一桌的位置。（抱歉!! 偷窺樓上寫的）
呵呵~感謝告知 我人在台北,專門下去拍花 大概也沒時間去那裡了... 再次感謝
教育 本身就各有所堅持 我通常尊重學校老師的教法 ( 沒有差太多的話 ) 不然 小孩 會無所適從 長大的話 有判斷力 來解釋當然聽得懂囉
嗯~~也許吧 我是不太接受,3*4或4*3便在那裡五四三 該留意的事情太多了
趕快來新社花海吧 我去看過了唷
看過的人也不來指點一下 交通動線 我有點擔心,明天塞爆了
明天 ? 非假日耶 沒有接駁車 沒有交通動線 只有一個原則 ~~ 早早出門 我是 8:30 到 要離開時 ( 10:30 ) 上山的車已經塞爆 總之 能更早就更早 ~~ 不然 就努力地塞吧
呵呵,好吧 我得送完小朋友才能出發 看來得練習耐心吧
您從國道四 石岡 或是 國道三 走 74 快速?
我會走國四....石岡吧 再來呢
寫成3x4的小朋友,要說說為什麼這樣算,有道理即可. 讓孩子有表達的機會,也讓師長了解孩子的觀念是否正確. 畢竟才小二,基礎很重要. 說到教育僵化,一肚子火,三天三夜講不完.唉!
嗯~~是啊 傳統教育下,只有一種講法 不能調換,青蛙本有4 條腿,卻只能擺前頭?? 怪哉的講法
石岡 往新社 只有一條路 !! 早些出門吧 我是從大坑上去的 也是塞 !!
嗯~~感謝你 我知道囉...
教育不必太死板 我覺得答案正確 過程可以不必錙銖必較
我也這樣想 小二學生必須如此,小三便沒關係 這我也覺得好僵化 超齡智慧的孩子多的很 卻無法了解大人的堅持
我和先生都告訴孩子一個觀念 乘是"加倍" 除是"分配" 理解後就比較能通 我覺得若是孩子懂得4代表四條腿 3代表三隻青蛙 這才是最重要的^^
你的教法才是最重要 能了解,比那堅持前後順序重要多了 數學的精華不是這前後的意義
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以前孩子小時後數學改成~~建構式數學 那時候不是被批評說孩子都被教笨了
是啊,我一直很慶幸,沒遇上這數學的災難 那也是一種僵化的堅持 只能一步步算出來,說什麼這樣可以建立觀念 如今那位學者該是教改罪人之一吧
小馬兄，我想應該不會塞車了才是，只要避開假期就好。 至於我說的那條路是從萬仙街進入約只幾百公尺就右轉往五福臨木走，進入後會有指示牌，這條路很少人走和知道，所以地圖很難看出來。 如果沒塞車，當然就不用走那條路，我也不清楚您走那條高速公路下來，現在導航很方便，只要輸入地址，通常都會帶您至目的地，
呵呵,想來這條捷徑不太適合 便如同我走一條小路往天元宮啊 感謝你的告知,期待真如你金口,一切順暢
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數學笨笨，看到題目就頭疼
呵呵,客氣了 反正我們也不用被考了
這個問題在我家老大上小二時 我們就曾因為算式寫錯 而扣分 當時我就質疑過 因為我家孩子沒上安親班 所以我看了教科書後 書上的解釋就是如陳校長的解釋 當時我也想 我們以前學的不是這樣呀 !! 交換也無所謂 但是 現在不同 , 答案問幾元的話 被乘數就是要放 "元" 的數字 ... 這就是學者會牽涉到 建構式數學的部份 然而 你說教改 你看 國中生之前還有樂學 可是12年國教後樂學不見了 不久前學校請小孩上電腦 選填高中志願模擬 結果一模擬後有一些學校原本只招300人 可是登記卻高達兩千人 ... 好幾個中上學校都如此 ... 我女兒問我怎麼辦 ? 萬一這些人 分數都比她高 她不就被踢掉 往下一個或再下下一個志願 ... 可是每下一個志願 就會被扣兩分 ... 可是萬一 這些當初模擬的人 其實是沒有比我們分數高 而是我們自己為保險起見 才把志願降低 這樣不是就跳入陷井中 ... 所以 填志願也是種賭注 如同婚姻呀 ...
你的煩惱,我也感同身受 這12年國教填志願的問題,是大學問 他們掌管教育的人,期待我們放下明星學校 以自己志向為主要考量,所以便是勇敢把自己所愛放最前面 本來北北基一個志願差3分，現在被駡怕,差一個志願差一分 再加三等級加標示，現在如果沒擠上自己學校,只能怪自己程度不夠 沒有志願序的問題 等同又回復原本以成績取材的路子 這是公平,但又變成分數斤斤計較 很難百分百,做到大家都滿意 所以,便請放下那些想法,找到自己最理想的學校 一路填下去,才不會遺憾啊
好友早安 小週末愉快 照片看看就好 到現場十之八九都會失望的~~呵呵
呵呵~~我最近常說一句話 照片都是會騙人的 看來你的照片尤然啊
早安.祝你今日一路順風的到新社. 對於4*3/3*4問題我的觀念應是4*3正確.為什麼呢? 沒錯.怎樣算答案都是12.但主題是問幾條腿的問題. 幸好早年我遇到一位老師在此種問題有特別教導過我們. 所以我們才懂得那道理原因並不認為是權威教條方式. 現在題目是問一隻青蛙有4條腿.3隻青蛙共有幾條腿. 主要答案是問共有幾條腿.所以4條腿*3隻青蛙答案12條腿. 3隻青蛙*4條腿答案是12隻青蛙.主題要放在前面才是正確. 我覺得在教學初始老師要告訴學生認知基本觀念問題在哪. 我個人不是主張一就是一的人. 但我們自小在基礎觀念上要清楚對與錯/秩序的前後道理.
嗯~~我可以知道你的意思 不過我不認為這有如此重要,重要到前後對調 便是錯誤...科學或數學,要教育思考邏輯 但只要小朋友明白,青蛙四條腿,如果他認為青蛙3條腿 那答案便是3*3....因為只有3隻青蛙.. 尤其,這校長說答案到小三以上,便算對了 又讓我更不能接受...歧視小二學童沒有思考能力
求的是腿，所以思考從4隻腿出發，所以4•3是合理的，答對是重要，過程是思考也很重⋯
我想4*3的道理,大家都明白 只是要求小二非得4*3才算對 我便不服氣了
我真的覺得台灣的教育 有很多值得商確的地方 很多的想法太天馬行空 苦了孩子~~也苦了父母ㄚ
天馬行空的想法,也沒關係 老師要能瞭解 因為寫3*4,老師便打錯 而不去了解,何以先寫3*4便不行 我先抓來三隻青蛙不行哦
數學本就是很難的東西又加上一些理解的東西,又是應用題咬文嚼字的,更難ㄟ! 小學時期啟蒙老師很重要,影響往後學習
嗯~~我擔心許多孩子被這種東東困住了 前後是有差別,但沒有一定的 何以堅持
看到數學我就頭痛啦 除了算摳摳不會頭痛以外 ~~吼~現在好像都把簡單復雜化耶[:emotion1378807596-835313282.gif]~~
呵呵~~我不只數摳摳不會頭大 算幾個小朋友也挺快樂的.... 好久沒聽你講投資股票的事了
是耶~~記得兒子小學也有這問題...我就覺得很奇怪,為什麼要求這麼多...不過不是二年級...現在小學二年級已教這麼深奧啦...
嗯~~我是覺得都提早了 但小朋友更沒當年的扎實了 老師心態不同了吧
大哥 今天有遇到塞車嗎 ?
小塞一下,大致順利 感謝關心啊 你看到我拍的了嗎
來明治神宮看花吧。
那三朵花嗎??看來不大... 你應該特寫的
過來探視一下小馬兄今天遊玩台中新社花海的成果哩.可能您尚未回到家裡![:emotion1377950237-1667085147.gif]
你這時間,我快到台北了 五楊高架吧... 再次感謝你,有你真好
其實我認為只要懂的4X3和3X4的差別～～就不會在那裏搞不清楚而起疑問或爭論～[:emotion1377962073-3900029128.gif]～～
呵呵~~青蛙只有4條腿,也只有3隻 4*3或3*4代表什麼??
我想讓孩子了解這算式的含意才是最重要的, 知道3和4所代表的意義是什麼, 我想才是最重要的, 台灣教條是的教學方式, 我想只會阻礙孩子們的思考力, 過去我兒子所接受的數學訓練是啟發式的訓練, 這讓他日後在數學的發揮上有許多幫助, 想想過去的建構式數學, 不就讓許多孩子受害, 學數學真的要靈活運用, 過於死板的教導方式, 是無法讓學生受益的
我大兒子數學不算好,想來沒有遇到明師 算是自己硬拼上去的 啟發式適合天資聰敏的小孩,老師也要有耐心及熱忱 這年頭,好像學校看不到,只有在補習班才有吧
小心媽覺得台灣教育好多意見！我三個孩子三點半下課如果沒有參加課外活動一定回家，忙就到餐館，不忙他們一堆人就在園子打藍球，我們又忙從來沒踫過他們的功課，也沒特別補習，三個也進資優班，一直到高中要進大學才好像忙一點，我從來沒幫忙過他們呢！看你寫的，台灣學生好像很辛苦呢！
是啊,學生們因為教改 要學習的東西比以前多上許多 本來可以輕鬆念的課程 份量加重許多,又有一些莫明其妙堅持什麼的學者 學生苦哉
多元化的社會 應該容許多元化的思考 何必墨守成規 食古不化呢
是啊,不去研究小朋友何以算式放前放後 便是認為位置不一樣,便是錯誤 真是令人側目
我們的教育太定型制式化 一些教育者只知堅持而不變通 [:emotion1377962008-4892697.gif]
是啊,太多的堅持不知為什麼 便如同12年國教重點在免費 卻因為升學制度極大變革 亂掉了重點.... 不能循序嗎?改成那樣會考超額比序 學生便輕鬆了嗎
1.應該先算有幾隻青蛙=3隻 2.再算一隻青蛙有多少腿=4條腿 總算法3*4=12條腿 這樣算法小朋友才會理解 一隻青蛙是4條腿
呵呵~~~是啊,小朋友不知青蛙四條腿 那答案肯定有問題 除非變成4隻青蛙,各3條腿... 不過,那又是另一種無聊的質疑了 教育要靈活機變,不要再去限制思維了
我前三年一直陷入這樣的數學教學困擾中，兩個小孩的課業都是我在教，老師偏偏喜歡在正確答案中，一一把寫法過程有錯誤處圈選出來... (答案對就好了，何必雞蛋裡挑骨頭)
是咩~~有時候只能鼻子摸摸 反正沒差這幾分.... 不過,我是會在家長日大鳴大放的 想想我膽子也算夠大...
我曾經也困惑過,有差嗎?問小孩其實懂得啊...也許可以請小孩過來,問問想法,若想法無誤...那麼就對吧....如果,小孩根本搞不清楚...就扣一半分數...如何呢?
是啊,這便是PISA考題的精華 可惜,台北巿不敢硬推下去 我們需要多一點這樣的教育方式
感謝分享 推
哈哈~~你真的很能找... 我都忘了這篇了
記得剛流行建構式數學時 我就被搞得很頭疼 12+34 得10+30、再算2+4，再總和 覺得很搞工 但其中希望學童能多方向思考的用意我是懂啦 只是不知道這樣是否數學能更活 專家比較懂吧
建構式數學的目的 只是讓學生瞭解算數原理 但對我而言那真是荒唐的想法 知道這些數學原理又能發展出什麼?? 真正的數學難題 可以靠建構式數學來解析嗎?? 夠愚蠢的學者專家 不過我還是很感謝你來捧場這篇舊文..
乘數和被乘數是依題意決定的...並沒有在固定位置上...以本題來說...7隻青蛙幾條腿...應該寫做7X4比較恰當... 但問題是題目前言有說到...一隻青蛙四條腿...這前言是該當題目一部份或提示(怕有人不知道青蛙有幾條腿)...如果是題目一部份...那算示當然寫成4X7比較恰當...但如果只是提示...那麼算式還是應該寫做7X4比較正確... 而依整個題目來看...一隻青蛙4條腿應該被當成提示...而不是題目一部份...因為問題真正發問的內容是問...7隻青蛙幾條腿... (一隻青蛙四條腿，七隻青蛙幾條腿？4X7...和...一隻青蛙四條腿，請問七隻青蛙幾條腿？7X4...題目並不相同...第一題文字是題目的全部描述。第二題文字部份，前面是提示，後面才是問題。鉛筆因為是問多少錢...而一隻鉛筆是8元，一打12隻...所以寫成8X12比較符合題意...) 有些人數學不好...並不是計算理解能力不好...而是對文字描述內容的理解能力不好...這一部份有些是學生語文能力不好...另一部份其實是出題的人語文能力也有所問題...才會語焉不詳讓人有所誤解...
感謝你的意見 對我而言，我可以瞭解你的意朏，而且十分敬佩 但對我們大部分不是很懂數學或算術的人 這樣的判斷算式,再來決定錯誤的題目 我個人是受不了的 這樣的題目,或許該是數學系的考題 也或者是中文系的考題吧 總之,我不認為，這算式該成為對錯的判斷依據
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